Exemple de recurrence

L`itération peut être désordonnée, mais lorsque la relation de récurrence ne fait référence qu`à un terme antérieur (et peut-être à une fonction de (n )), elle peut fonctionner correctement. Nous avons une solution. Si (R_1 ) et (r_2 ) sont deux racines distinctes du polynôme caractéristique (i. Ainsi, il est raisonnable de deviner la solution contiendra des pièces qui semblent géométriques. Qu`est-ce qui se passe ici? Mais nous savons que (a_0 = 4 texte {. Notez que tous les autres termes ont un 2 en eux. Regardez la différence entre les termes. Ajoutez toutes ces équations ensemble. Cela nous indique la direction d`une technique plus générale pour résoudre les relations de récurrence.

Nous obtenons (frac{2-2cdot 3 ^ n} {-2} ) qui simplifie à (3 ^ n-1 texte {. Sur le côté droit, nous obtenons la somme (1 + 2 + 3 + cdots + ntext {. On remarque un modèle. Nous voulons comprendre combien de différentes conceptions de chemin d`accès (1 times n ) nous pouvons faire de ces tuiles. Notez que nous serons toujours en mesure de factoriser le (r ^ {n-2} ) comme nous l`avons fait ci-dessus. Cependant, il est possible que le polynôme caractéristique n`ait qu`une seule racine. Le côté droit sera (sum_{k = 1} ^ n f (k) text{,} ) c`est pourquoi nous avons besoin de connaître la formule fermée pour cette somme. Trouver une formule fermée. Vérifiez votre solution pour la formule fermée en résolvant la relation de récurrence à l`aide de la technique racine caractéristique. Nous pouvons écrire ceci explicitement: (a_n-a_ {n-1} = ntext {. La bonne chose est, nous savons comment vérifier si une formule est en fait une solution à une relation de récurrence: Branchez-le.

Nous avons vu comment simplifier (2 + 2 cdot 3 + 2 cdot 3 ^ 2 + cdots + 2 cdot 3 ^ {n-1} text{. Maintenant, nous simplifions. Lequel est correct? Cependant, le télescoping ne nous aidera pas avec une récursivité telle que (a_n = 3a_ {n-1} + 2 ) puisque le côté gauche ne sera pas télescope. Supposons que nous voulons résoudre une relation de récurrence exprimée comme une combinaison des deux termes précédents, tels que (a_n = a_ {n-1} + 6a_{n-2} text{. Nous savons déjà que cela peut être simplifié à (frac{n (n + 1)} {2} text{. Mettre tout cela ensemble, nous avons (-a_0 + a_n = frac{n (n + 1)} {2} ) ou (a_n = frac{n (n + 1)} {2} + a_0text {. Dans chaque étape, nous multiplions, entre autres choses, une itération précédente de 6. Nous avons vu qu`il est souvent plus facile de trouver des définitions récursives que des formules fermées. Parfois, nous pouvons être intelligents et résoudre une relation de récurrence par l`inspection. Il est également possible de résoudre les relations de récurrence de la forme (a_n = alpha a_ {n-1} + beta a_ {n-2} + C ) pour une constante (Ctext {.

L`exemple ci-dessus montre un moyen de résoudre les relations de récurrence de la forme (a_n = a_ {n-1} + f (n) ) où (sum_{k = 1} ^ n f (k) ) a une formule fermée connue. La longueur de la formule se développera exponentiellement (double à chaque fois, en fait). Par cela, nous entendons quelque chose de très similaire à la résolution des équations différentielles: nous voulons trouver une fonction de (n ) (une formule fermée) qui satisfait la relation de récurrence, ainsi que la condition initiale. Il est également possible (et acceptable) que les racines caractéristiques soient des nombres complexes. Avant de quitter la technique de la racine caractéristique, nous devrions réfléchir à ce qui pourrait se produire lorsque vous résolvez l`équation caractéristique. Trouver la solution générale à la relation de récurrence (Méfiez-vous de la racine répétée). Pour rechercher les valeurs de (a ) et (btext {,} ), utilisez les conditions initiales. Nous appelons cette autre partie l`équation caractéristique pour la relation de récurrence.